AYT Matematik Türev: Kurallar, Soru Tipleri ve Çözümlü Örnekler
Türev, AYT Matematik'in omurgasıdır: limitten gelir, integrale gider. Not: YKS'de türev TYT'de değil, AYT'de sorulur. Bu rehberde türev kurallarını, AYT'de karşına çıkan soru tiplerini ve her tip için çözümlü bir örneği bulacaksın.
Önce tanım: türev neyi ölçer?
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki anlık değişim hızıdır; grafikte o noktadaki teğet doğrusunun eğimidir. Limitle tanımı:
Örnek: f(x) = x² için f′(3)?
[ (3 + h)² − 9 ] / h = (6h + h²) / h = 6 + h → h → 0 iken f′(3) = 6.
Limit konusu oturmadan türeve geçmek, ezberle soru çözmeye çalışmak demektir: AYT Limit ve Süreklilik rehberi.
Türev alma kuralları
| Kural | Türev |
|---|---|
| Sabit: c | 0 |
| Kuvvet: xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Sabitle çarpım: c · f(x) | c · f′(x) |
| Toplam: f(x) ± g(x) | f′(x) ± g′(x) |
| Çarpım: f(x) · g(x) | f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) |
| Bölüm: f(x) / g(x) | [ f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x) ] / g(x)² |
| Zincir: f(g(x)) | f′(g(x)) · g′(x) |
| Kök: √x | 1 / (2√x) |
Soru tipleri ve çözümlü örnekler
1. Polinomun türevi ve bir noktadaki değeri
f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1 ise f′(1) kaçtır?
Çözüm: f′(x) = 6x² − 10x + 4 → f′(1) = 6 − 10 + 4 = 0.
2. Çarpım kuralı
f(x) = (x² + 1)(3x − 2) ise f′(x) nedir?
Çözüm: f′(x) = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3. Kontrol için önce çarpıp sonra türev alabilirsin: (3x³ − 2x² + 3x − 2)′ = 9x² − 4x + 3.
3. Zincir kuralı
f(x) = (2x − 1)⁴ ise f′(1) kaçtır?
Çözüm: f′(x) = 4(2x − 1)³ · 2 = 8(2x − 1)³ → f′(1) = 8 · 1 = 8. En sık hata: içteki ifadenin türevini (burada 2) unutmak.
4. Köklü ifadenin türevi
f(x) = √(x² + 9) ise f′(4) kaçtır?
Çözüm: f′(x) = 2x / (2√(x² + 9)) = x / √(x² + 9) → f′(4) = 4 / √25 = 4/5.
5. Teğet ve normal doğrusu
f(x) = x² − 3x + 2 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğet ve normal denklemleri nedir?
Çözüm: f(2) = 4 − 6 + 2 = 0 → nokta (2, 0). f′(x) = 2x − 3 → teğetin eğimi f′(2) = 1.
Teğet: y − 0 = 1 · (x − 2) → y = x − 2.
Normal teğete diktir, eğimi −1: y = −(x − 2) → y = −x + 2.
6. Artan-azalan aralıklar ve ekstremum
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum değerleri nedir?
Çözüm: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) → kökler x = −1 ve x = 3.
| Aralık | x < −1 | −1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| f′(x) işareti | + | − | + |
| f | artan | azalan | artan |
x = −1'de işaret + → − : yerel maksimum, f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10.
x = 3'te işaret − → + : yerel minimum, f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
7. İkinci türev ve büküm noktası
Aynı fonksiyon için büküm noktası nedir?
Çözüm: f″(x) = 6x − 6 → x = 1'de sıfır ve işaret değiştiriyor (x < 1'de −, x > 1'de +). f(1) = 1 − 3 − 9 + 5 = −6 → büküm noktası (1, −6). x < 1'de eğri aşağı doğru (konkav), x > 1'de yukarı doğru bükülür.
8. Maksimum-minimum (optimizasyon) problemi
Kenarı 20 cm olan kare bir kartonun dört köşesinden x cm kenarlı kareler kesilip kenarlar katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en çok kaç cm³ olur?
Çözüm: Taban kenarı 20 − 2x, yükseklik x → V(x) = x(20 − 2x)², 0 < x < 10.
V′(x) = (20 − 2x)² − 4x(20 − 2x) = (20 − 2x)(20 − 6x) → aralıkta kök: x = 10/3.
x < 10/3'te V′ > 0, x > 10/3'te V′ < 0 → maksimum.
V(10/3) = (10/3) · (40/3)² = 16000/27 ≈ 592,6 cm³.
Sık yapılan hatalar
- (f · g)′ = f′ · g′ sanmak: Çarpımın türevi iki terimlidir: f′g + fg′.
- Zincirde içi unutmak: (3x + 1)⁵′ = 5(3x + 1)⁴ · 3.
- Ekstremumu f′ = 0 ile bitirmek: İşaret tablosu kurmadan karar verme.
- Kapalı aralıkta uç noktaları unutmak: [a, b] aralığındaki en büyük/en küçük değer uç noktalarda da olabilir.
- Teğette noktayı yanlış almak: Eğim f′(x₀), nokta (x₀, f(x₀)); ikisini karıştırma.
Nasıl çalışmalı?
- Önce limit ve türev tanımını oturt; kuralları tanımdan bir kez türetmek ezberi kalıcı yapar.
- Her soru tipinden 10'ar soru çöz; yanlışlarını işaretle.
- Yanlış yaptığın soruları 2-3 gün sonra çözüme bakmadan yeniden çöz (aralıklı tekrar).
- Türev oturunca integrale geç: integral, türevin tersidir — AYT İntegral ve Alan Hesabı.
Never Forget'e ücretsiz başla →